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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Differentiation von Fourier-Reihen

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Die Funktion

$\displaystyle f(x)=\vert\sin x\vert $

besitzt die Fourier-Reihe

$\displaystyle f(x)\sim -\frac{2}{\pi} \sum_{k\in\mathbb{Z}} \frac{1}{4k^2-1}e^{... ...= \frac{2}{\pi} -\frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{4k^2-1}\cos(2kx)\,. $

\includegraphics[width=.8\linewidth]{b_diff_1}
Die Ableitung

$\displaystyle f'(x)=\operatorname{sign}(\sin x)\cos x $

besitzt demzufolge die Fourier-Reihe

$\displaystyle f'(x) \sim -\frac{2}{\pi} \sum_{k\neq 0} \frac{2\mathrm{i}k}{4k^2... ...{2\mathrm{i}kx} = \frac{4}{\pi}\sum_{k=1}^\infty \frac{2k}{4k^2-1}\sin(2kx)\,. $

\includegraphics[width=.8\linewidth]{b_diff_2}
[Verweise]
  automatisch erstellt am 8. 11. 2013