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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Integration von Fourier-Reihen

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Die $ 2\pi$-periodische Fortsetzung der Funktion

$\displaystyle f(x)=x,\quad x\in[-\pi,\pi)\,, $

besitzt die Fourier-Reihe

$\displaystyle f(x)\sim \mathrm{i} \sum_{k\neq 0} \frac{(-1)^k}{k}e^{\mathrm{i}kx} = -2 \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k}{k}\sin(kx)\,. $

\includegraphics[width=.8\linewidth]{b_int_1}
Die $ 2\pi$-periodische Fortsetzung der Stammfunktion

$\displaystyle F(x)=x^2/2,\quad x\in[-\pi,\pi) $

besitzt demzufolge die Fourier-Reihe

$\displaystyle F(x) \sim d_0 + \sum_{k\neq 0} \frac{(-1)^k}{k^2}e^{\mathrm{i}kx} = d_0 + 2\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^k}{k^2}\cos(kx) \,. $

\includegraphics[width=.8\linewidth]{b_int_2}

(Autoren: App/Höllig)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 8. 11. 2013