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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Parseval-Identität

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Die $ 2\pi$-periodische Fortsetzung der Funktion

$\displaystyle f(x)=x,\quad x\in[-\pi,\pi)\,, $

besitzt die Fourier-Reihe

$\displaystyle f(x)\sim \mathrm{i} \sum_{k\neq 0} \frac{(-1)^k}{k}e^{\mathrm{i}kx}\,. $

\includegraphics[width=.6\linewidth]{b_parseval}
Somit gilt

$\displaystyle \Vert f\Vert _{2\pi}^2$ $\displaystyle =\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi x^2 \,dx = \frac{\pi^2}{3}$    

und mit der Parseval-Identität


$\displaystyle \frac{\pi^2}{3}$ $\displaystyle =\sum_{k\neq 0} \left\vert\mathrm{i}\frac{(-1)^k}{k}\right\vert^2 = 2 \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}\,.$    

Nach Umformung erhält man

$\displaystyle \frac{\pi^2}{6} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}+\cdots \,. $

siehe auch:

  automatisch erstellt am 8. 11. 2013