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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Differentiation der Fourier-Transformation

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Als Beispiel wird die Funktion

$\displaystyle f(x)=e^{-x^2/2},\quad \hat{f}(y)=\sqrt{2\pi}\,e^{-y^2/2} $

betrachtet.

Als Fourier-Transformation für die Ableitungen

$\displaystyle f'(x)$ $\displaystyle =-xe^{-x^2/2}=-xf(x)$    
$\displaystyle f''(x)$ $\displaystyle = (x^2-1)e^{-x^2/2}=(x^2-1)f(x)$    

erhält man


$\displaystyle \widehat{f'\ }(y)$ $\displaystyle = \sqrt{2\pi}\,\mathrm{i}y\,e^{-y^2/2} = \mathrm{i}y\hat{f}(y) = -\mathrm{i}\hat{f}\,'(y)$    
$\displaystyle \widehat{f''}(y)$ $\displaystyle = -\sqrt{2\pi}\,y^2e^{-y^2/2} = -y^2\hat{f}(y) = -\hat{f}\,''(y)-\hat{f}(y) \,.$    

Somit lässt sich die (inverse) Fourier-Transformation von allen Funktionen der Form $ p(x)\exp(-x^2/2)$, wobei $ p$ ein Polynom ist, explizit angeben.
[Verweise]
  automatisch erstellt am 13. 11. 2013