Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Differentiation der Fourier-Transformation

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht
Als Beispiel wird die Funktion

$\displaystyle f(x)=e^{-\vert x\vert},\quad \hat{f}(y)=\frac{2}{1+y^2} $

betrachtet.

Als Fourier-Transformation für die Ableitung

$\displaystyle f'(x)$ $\displaystyle =-\operatorname{sign}(x)e^{-\vert x\vert}$    

erhält man


$\displaystyle \widehat{f'\ }(y)$ $\displaystyle = \frac{2\mathrm{i}y}{1+y^2}\,.$    

Umgekehrt erhält man für $ xe^{-\vert x\vert}$ die Fourier-Transformation

$\displaystyle \mathrm{i}\hat{f}\,'(y) = -\frac{4\mathrm{i}y}{(1+y^2)^2}\,. $

Somit lässt sich die Fourier-Transformation von allen Funktionen der Form $ p(x)\exp(-\vert x\vert)$, wobei $ p$ ein Polynom ist, explizit angeben.
[Verweise]
  automatisch erstellt am 13. 11. 2013