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Mathematik-Online-Lexikon:

Partielle Integration von Wurzelausdrücken


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Aus $ {\displaystyle{\int (1+x)^\alpha\,
dx=\frac{1}{\alpha+1}\,(1+x)^{\alpha+1}+c}}$ für $ \alpha\neq -1$ folgt
$\displaystyle \int \underset{u \quad\:\: v'\quad}{x\sqrt{1+x}}\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x\frac{2}{3}(x+1)^{3/2} -
\int 1\cdot\frac{2}{3}(1+x)^{3/2}\,dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2}{3}x(1+x)^{3/2} -
\frac{4}{15}(1+x)^{5/2} + c.$  

Analog berechnet man
$\displaystyle \int_0^1 \underset{u \quad \:\: v'\quad}{x\sqrt{1-x}}\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left[ -x\frac{2}{3}(1-x)^{3/2} \right]_0^1 +
\int_0^1 1\cdot\frac{2}{3}(1-x)^{3/2}\,dx$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle 0 - \left[ \frac{4}{15} (1-x)^{5/2} \right]_0^1
=
\frac{4}{15}\,.$  

(Autoren: Höllig/Kopf)

siehe auch:


  automatisch erstellt am 8.  4. 2008