Mathematik-Online-Lexikon: Beispiel: Satz von Plancherel

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	Beispiel: Satz von Plancherel

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Übersicht

Als Beispiel wird die Funktion

$\displaystyle f(x)=e^{-x^2/2},\quad\hat{f}(y)=\sqrt{2\pi}e^{-y^2/2}$

betrachtet.

Man erhält

$\displaystyle \Vert\hat{f}\Vert^2=\langle\hat{f},\hat{f}\rangle=\langle \sqrt{2\pi}f,\sqrt{2\pi}f \rangle = 2\pi\Vert f\Vert^2$

im Einklang mit dem Satz. Der konkrete Wert der Norm ist

$\displaystyle \Vert f\Vert^2 = \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2/2}\overline{e^{-x^2/2}}\,dx =\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx =\sqrt{\pi}\,.$

[Verweise]

automatisch erstellt am 13. 11. 2013