Mathematik-Online-Lexikon: Beispiel: Satz von Plancherel

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	Beispiel: Satz von Plancherel

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Als Beispiel wird die Funktion

$\displaystyle f(x)=e^{-\vert x\vert},\quad\hat{f}(y)=\frac{2}{1+y^2}$

betrachtet.

Man erhält mit Hilfe einer Partialbruchzerlegung

$\displaystyle \Vert f\Vert^2$	$\displaystyle =2 \int\limits_0^\infty e^{-2x}\,dx =\left[-e^{-2x}\right]_0^\infty=1$
und
$\displaystyle \Vert\hat{f}\Vert^2$	$\displaystyle = \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{4}{(1+y^2)^2}\,dy = \left[ \frac{2y}{1+y^2}+2\arctan(y)\right]_{-\infty}^\infty=2\pi\,.$

automatisch erstellt am 13. 11. 2013