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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Poisson-Summationsformel

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Als Beispiel wird die Hutfunktion

\begin{displaymath} f(x)= \begin{cases} 0,& x<-1\\ x+1,& -1\leq x < 0\\ 1-x,& ... ...f}(y)=\operatorname{sinc}^2(y/2)= \frac{\sin^2(y/2)}{(y/2)^2} \end{displaymath}

betrachtet.

Unter Berücksichtigung von

$\displaystyle \exp(\mathrm{i}ax)f(x) \quad \overset{\cal{F}}{\longmapsto} \quad \hat{f}(y-a) $

erhält man für alle $ a\in\mathbb{R}$

$\displaystyle 1=\sum_{j\in\mathbb{Z}} f(j)e^{\mathrm{i}ja} = \sum_{l\in\mathbb{... ...} = \frac{1}{\pi^2}\sum_{l\in\mathbb{Z}}\frac{\sin^2(a/2)}{(l-a/(2\pi))^2} \,, $

bzw.

$\displaystyle \frac{\pi^2}{\sin^2(a/2)}= \sum_{l\in\mathbb{Z}}\frac{1}{(l-a/(2\pi))^2}\,. $

Daraus folgt z. B. für $ a=\pi$

$\displaystyle \pi^2$ $\displaystyle = \sum_{l\in\mathbb{Z}}\frac{1}{(l-1/2)^2} = \sum_{l\in\mathbb{Z}}\frac{4}{(2l-1)^2}$    

bzw.


$\displaystyle \frac{\pi^2}{8}$ $\displaystyle = \frac{1}{1^2} +\frac{1}{3^2}+\frac{1}{5^2}+\cdots\,.$    

[Verweise]
  automatisch erstellt am 13. 11. 2013