Mathematik-Online-Lexikon: Beispiel: Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen

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	Beispiel: Cauchy-Riemannsche Differentialgleichungen

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Als Beispiel wird die Funktion

$\displaystyle f(z)=e^z =e^{x+\mathrm{i}y}=\underbrace{e^x\cos y}_u +\mathrm{i}\,\underbrace{e^x\sin y}_v$

betrachtet.

Man erhält

$\displaystyle u_x(x,y)$	$\displaystyle = e^x\cos y = v_y(x,y)$
und
$\displaystyle u_y(x,y)$	$\displaystyle = -e^x\sin y = -v_x(x,y)\,.$
Damit ist in jedem Punkt komplex differenzierbar und
$\displaystyle f'(z)$	$\displaystyle =e^x\cos y +\mathrm{i}\,e^x\sin y=e^z\,.$

automatisch erstellt am 15. 11. 2013