Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Isotropie und Winkeltreue

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht
Als Beispiel werden die Gerade

$\displaystyle C_1:\quad$ $\displaystyle z_1(t)=-2\mathrm{i}+t(1+\mathrm{i}),\quad t\in\mathbb{R}\,,$    

und der Kreis


$\displaystyle C_2:\quad$ $\displaystyle z_2(t)=\frac{2}{t+\mathrm{i}},\quad t\in\mathbb{R}\,,$    

sowie die Abbildung

$\displaystyle f(z)=z^2,\quad f'(z)=2z $

betrachtet.
\includegraphics[width=.8\linewidth]{Konform_Bild1}
Für $ t_0=1$ schneiden sich $ C_1$ und $ C_2$ im Punkt $ z_0=1-\mathrm{i}$, wobei

$\displaystyle z_1'(1)$ $\displaystyle = 1+\mathrm{i} = \sqrt{2} e^{\mathrm{i}\pi/4}$    

und


$\displaystyle z_2'(1)$ $\displaystyle = \left.-\frac{2}{(t+\mathrm{i})^2}\,\right\vert _{t=1} = \mathrm{i} =e^{\mathrm{i}\pi/2}$    

ist, d.h. die Kurven schneiden sich in einem Winkel von $ \pi/4$.

Die Bilder $ f(C_1)$ und $ f(C_2)$ schneiden sich für $ t_0=1$ im Punkt $ z_0^2=(1-\mathrm{i})^2=-2\mathrm{i}$, wobei

$\displaystyle f'(1-\mathrm{i})z_1'(1) = 2(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i}) = 4$    

und


$\displaystyle f'(1-\mathrm{i})z_2'(1) = 2(1-\mathrm{i})\mathrm{i} = 2(\mathrm{i}+1) = 2\sqrt{2}e^{\mathrm{i}\pi/4}$    

ist, d.h. auch die Bildkurven schneiden sich in einem Winkel von $ \pi/4$. Der Streckungsfaktor beträgt

$\displaystyle \vert f'(1-\mathrm{i})\vert=2\sqrt{2}\,. $

siehe auch:

  automatisch erstellt am 21. 11. 2013