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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Konforme Abbildung

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Als Beispiel wird die Abbildung

$\displaystyle f(z)=z^2=\underbrace{x^2-y^2}_{u(x,y)} + \mathrm{i}\underbrace{2xy}_{v(x,y)} $

betrachtet.

Das Gitter $ x=$const. bzw. $ y=$const. wird dabei auf zwei Scharen orthogonaler Parabeln

$\displaystyle u +\left(\frac{v}{2x}\right)^2-x^2 = 0\,,\quad u -\left(\frac{v}{2y}\right)^2 +y^2 = 0 $

abgebildet, wobei $ x$ und $ y$ Parameter sind.

\includegraphics[height=.4\moimagesize]{b_konform_1}   \includegraphics[height=.4\moimagesize]{b_konform_2}
$ xy$-Ebene   $ uv$-Ebene

Umgekehrt werden die zwei Scharen von orthogonalen Hyperbeln

$\displaystyle x^2-y^2 =$   const.$\displaystyle \,,\quad 2xy =$   const.

auf das Gitter $ u=$const. bzw. $ v=$const. abgebildet.

\includegraphics[height=.4\moimagesize]{b_konform_4}   \includegraphics[height=.4\moimagesize]{b_konform_3}
$ xy$-Ebene   $ uv$-Ebene

siehe auch:

  automatisch erstellt am 21. 11. 2013