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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Cauchys Theorem

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Zur Illustration von Cauchys Theorem wird

$\displaystyle f(z)=(z-a)^n \,, \; n \in \mathbb{N}_0\,, $

betrachtet. Für den Kreis

$\displaystyle C:\quad z(t)=a+re^{\mathrm{i}t},\quad 0\le t \le 2\pi \,, $

erhält man

$\displaystyle \int\limits_C f\,dz$ $\displaystyle =\int\limits_0^{2\pi}(z(t)-a)^nz'(t)\,dt$    
  $\displaystyle =\int\limits_0^{2\pi}r^n e^{\mathrm{i}nt}r\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,dt$    
  $\displaystyle = \left[r^{n+1} \frac{1}{n+1}e^{\mathrm{i}(n+1)t}\right]_0^{2\pi}=0$    

im Einklang mit Cauchys Theorem.

Oft lassen sich Kurvenintegrale auf direktem Wege nicht explizit berechnen. Beispielsweise erhält man für

$\displaystyle f(z)=e^{z^2} $

mit obigem Kreis das Integral

$\displaystyle \int\limits_0^{2\pi}e^{(a+re^{\mathrm{i}t})^2}r\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,dt\,, $

das sich nicht explizit berechnen lässt. Aus Cauchys Theorem folgt jedoch $ \int_C f\,dz=0$.
[Verweise]
  automatisch erstellt am 21. 11. 2013