Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]

Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Cauchys Theorem


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht

Zur Illustration von Cauchys Theorem wird

$\displaystyle f(z)=(z-a)^n \,, \; n \in \mathbb{N}_0\,,
$

betrachtet. Für den Kreis

$\displaystyle C:\quad z(t)=a+re^{\mathrm{i}t},\quad 0\le t \le 2\pi \,,
$

erhält man

$\displaystyle \int\limits_C f\,dz$ $\displaystyle =\int\limits_0^{2\pi}(z(t)-a)^nz'(t)\,dt$    
  $\displaystyle =\int\limits_0^{2\pi}r^n e^{\mathrm{i}nt}r\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,dt$    
  $\displaystyle = \left[r^{n+1} \frac{1}{n+1}e^{\mathrm{i}(n+1)t}\right]_0^{2\pi}=0$    

im Einklang mit Cauchys Theorem.

Oft lassen sich Kurvenintegrale auf direktem Wege nicht explizit berechnen. Beispielsweise erhält man für

$\displaystyle f(z)=e^{z^2}
$

mit obigem Kreis das Integral

$\displaystyle \int\limits_0^{2\pi}e^{(a+re^{\mathrm{i}t})^2}r\mathrm{i}e^{\mathrm{i}t}\,dt\,,
$

das sich nicht explizit berechnen lässt. Aus Cauchys Theorem folgt jedoch $ \int_C f\,dz=0$.

siehe auch:


  automatisch erstellt am 21. 11. 2013