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Mathematik-Online-Lexikon:

Zusammenhang zwischen Cauchys Theorem und Greens Theorem

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Spaltet man $ \int_C f\,dz$ in Real- und Imaginärteil auf,

$\displaystyle \int\limits_C (u + \mathrm{i}v)(dx+\mathrm{i}dy) = \int\limits_C (udx - vdy) + \mathrm{i}\int\limits_C (udy + vdx) \,, $

so folgt mit $ C=\partial D$ aus dem Satz von Green, dass

$\displaystyle \int\limits_C f\,dz = -\int\limits_D (u_y+v_x)\,dxdy + \mathrm{i}\int\limits_D (u_x-v_y)\,dxdy \, $

ist. Beide Integrale verschwinden aufgrund der Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen. Allerdings muss die Stetigkeit der partiellen Ableitungen von $ u$ und $ v$ vorausgesetzt werden. Die Stetigkeit von $ f'$ wird jedoch im Allgemeinen mit dem zu beweisenden Satz von Cauchy gezeigt.

[Verweise]
  automatisch erstellt am 21. 11. 2013