Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Residuum

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht
Als Beispiel werden drei typische Fälle betrachtet.

Die rationale Funktion

$\displaystyle f(z)=\frac{1}{z^3-z^2} $

hat Polstellen bei $ z=0$ und $ z=1$. Aus

$\displaystyle f(z)=\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z^2}-\frac{1}{z} $

folgt $ \underset{0}{\operatorname{Res}}f=-1$ und $ \underset{1}{\operatorname{Res}}f=1$.

Für

$\displaystyle f(z)=e^{1/z} $

folgt aus der Laurent-Entwicklung

$\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} z^{-n} $

$ \underset{0}{\operatorname{Res}}f=1$.

Die Funktion

$\displaystyle f(z)=\frac{\sin(1/z)}{z^2} $

besitzt die Stammfunktion

$\displaystyle F(z)=\cos(1/z)\,. $

Folglich ist für einen Kreis $ C$ um 0

$\displaystyle \int\limits_C f\,dz =0 $

und somit $ \underset{0}{\operatorname{Res}}f=0$.

[Verweise]
  automatisch erstellt am 21. 11. 2013