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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Berechnung von Residuen


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Die Funktion

$\displaystyle f(z)=\frac{1}{z\sin z}
$

hat eine Polstelle zweiter Ordnung bei $ z=0$ und Polstellen erster Ordnung bei $ z=k\pi$, $ k\in\mathbb{Z}\backslash\{0\}$. Für die Residuen erhält man

$\displaystyle \underset{0}{\operatorname{Res}}f$ $\displaystyle =\lim_{z\to0}\left(\frac{d}{dz}\,\frac{z}{\sin z}\right) = \lim_{z\to0}\frac{\sin z-z\cos z}{\sin^2 z}$    
  $\displaystyle \overset{\text{L'Hospital}}{=} \lim_{z\to0}\frac{\cos z -\cos z +z\sin z}{2\cos z\sin z} = \lim_{z\to0}\frac{z}{2\cos z}=0$    

und


$\displaystyle \underset{k\pi}{\operatorname{Res}}f$ $\displaystyle = \lim_{z\to k\pi}\frac{z-k\pi}{z\sin z} \overset{\text{L'Hospital}}{=} \lim_{z\to k\pi}\frac{1}{\sin z+z\cos z} = \frac{(-1)^k}{k\pi}\,.$    


[Verweise]

  automatisch erstellt am 21. 11. 2013