Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Rationale Integranden

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht
Als Beispiel wird die Funktion

$\displaystyle f(z)=\frac{1}{1+z^6} $

betrachtet. Die Funktion besitzt die $ 6$ einfachen Polstellen

$\displaystyle a_j=e^{\mathrm{i}(\pi/6+2\pi j/6)},\quad j=0,\ldots,5\,, $

wobei $ a_0$, $ a_1$, $ a_2$ in der oberen Halbebene liegen. Man erhält

$\displaystyle \underset{a_j}{\operatorname{Res}}f = \lim_{z\to a_j} \frac{(z-a_... ...im_{z\to a_j} \frac{1}{6z^5}= \lim_{z\to a_j} \frac{z}{6z^6} = -\frac{a_j}{6} $

und damit

$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^6}\,dx = 2\pi\mathrm{... ...thrm{i} - \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2}\right) = \frac{2\pi}{3}\,. $

[Verweise]
  automatisch erstellt am 21. 11. 2013