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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Rationale Integranden

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Als Beispiel wird die Funktion

$\displaystyle f(z)=\frac{1}{(z^2+1)^n}=\frac{1}{(z-\mathrm{i})^n(z+\mathrm{i})^n},\quad n\in\mathbb{N}\,, $

betrachtet. Nur die $ n$-fache Polstelle $ a=\mathrm{i}$ liegt in der oberen Halbebene, und man erhält

$\displaystyle \underset{\mathrm{i}}{\operatorname{Res}}f$ $\displaystyle = \frac{1}{(n-1)!}\left[\left(\frac{d}{dz}\right)^{n-1} \left((z-\mathrm{i})^nf(z)\right) \right]_{z=\mathrm{i}}$    
  $\displaystyle = \frac{1}{(n-1)!} \left[\frac{(-n)(-n-1)\cdots(-2n+2)}{(z+\mathrm{i})^{2n-1}} \right]_{z=\mathrm{i}}$    
  $\displaystyle =\frac{(2n-2)!}{(n-1)!(n-1)!} \frac{(-1)^{n-1}\mathrm{i}}{2^{2n-1}\mathrm{i}^{2n}}= -\mathrm{i}\binom{2n-2}{n-1}2^{1-2n}$    

und damit

$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{(x^2+1)^n}\,dx = 2\pi\mat... ...}\underset{\mathrm{i}}{\operatorname{Res}}f = \pi\binom{2n-2}{n-1}2^{2-2n}\,. $

[Verweise]
  automatisch erstellt am 21. 11. 2013