Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]

Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Transzendente Integranden


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht

Als Beispiel wird das Integral

$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\cos x}{1+x^2}\,dx
=\operatorname{Re} \int\limits_{-\infty}^\infty
\frac{e^{\mathrm{i}x}}{1+x^2}\,dx
$

betrachtet. Der Integrand hat zwei einfache Polstellen bei $ a_1=\mathrm{i}$ und $ a_2=-\mathrm{i}$, wobei nur die Polstelle $ a_1$ in der oberen Halbebene liegt. Für das Residuum bei $ a_1=\mathrm{i}$ erhält man

$\displaystyle \underset{z=\mathrm{i}}{\operatorname{Res}}\,\frac{e^{\mathrm{i}z...
..._{z\to\mathrm{i}} \frac{e^{\mathrm{i}z}}{\mathrm{i}+z}
=\frac{1}{2\mathrm{i}e}
$

und damit

$\displaystyle \int\limits_{-\infty}^\infty \frac{\cos x}{1+x^2}\,dx=\operatorname{Re}
\frac{2\pi\mathrm{i}}{2\mathrm{i}e} = \frac{\pi}{e}\,.
$

siehe auch:


  automatisch erstellt am 21. 11. 2013