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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Taylor-Reihe

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Als Beispiel wird die Taylor-Reihe zum Entwicklungspunkt $ a$ der Funktion

$\displaystyle f(z)=\frac{1}{z(z-1)}=\frac{1}{z-1}-\frac{1}{z} $

mit den beiden einfachen Polstellen $ z=0$ und $ z=1$ betrachtet.

Mit Hilfe der geometrischen Reihe erhält man

$\displaystyle \frac{1}{z}$ $\displaystyle = \frac{-1}{-a-(z-a)}=\frac{1}{a}\,\frac{1}{1-\frac{z-a}{-a}} =\frac{1}{a}\sum_{n=0}^\infty \frac{(z-a)^n}{(-a)^n}$    

und analog


$\displaystyle \frac{1}{z-1}$ $\displaystyle = \frac{-1}{1-a-(z-a)}=\frac{1}{a-1}\,\frac{1}{1-\frac{z-a}{1-a}}= \frac{1}{a-1}\sum_{n=0}^\infty \frac{(z-a)^n}{(1-a)^n}\,,$    

wovon die erste Reihe für $ \vert z-a\vert <\vert a\vert$ und die zweite Reihe für $ \vert z-a\vert <\vert 1 -a\vert$ konvergiert. Damit ist der Konvergenzradius $ r$ der Taylor-Reihe

$\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^\infty \left(\frac{-1}{(1-a)^{n+1}}-\frac{-1}{(-a)^{n+1}}\right)(z-a)^n $

gerade der Abstand des Entwicklungspunktes $ a$ zur näheren Polstelle $ z=0$ oder $ z=1$,

$\displaystyle r=\min(\vert a\vert,\vert 1-a\vert)\,. $

[Verweise]
  automatisch erstellt am 21. 11. 2013