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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Laurent-Reihe

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Als Beispiel werden verschiedene Laurent-Entwicklungen der Funktion

$\displaystyle f(z) =\frac{b-c}{(z-b)(z-c)}=\frac{1}{z-b}-\frac{1}{z-c} $

mit $ \vert b\vert<\vert c\vert$ um den Entwicklungspunkt $ a=0$ betrachtet.

\includegraphics[width=.3\moimagesize]{Laurent_Bild1}   \includegraphics[width=.3\moimagesize]{Laurent_Bild2}   \includegraphics[width=.3\moimagesize]{Laurent_Bild3}
$ \vert z\vert<\vert b\vert\qquad\ $   $ \vert b\vert<\vert z\vert<\vert c\vert\qquad$   $ \vert c\vert<\vert z\vert\qquad\ $

(i)
$ \left\vert z \right\vert< \left\vert b \right\vert $: Mit Hilfe der geometrischen Reihe erhält man

$\displaystyle f(z)$ $\displaystyle =-\frac{1}{b}\frac{1}{1-z/b}+\frac{1}{c}\frac{1}{1-z/c} = -\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{b^{n+1}} + \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{c^{n+1}}\,,$    

wobei die erste Reihe für $ \vert z\vert<\vert b\vert$ und die zweite Reihe für $ \vert z\vert<\vert c\vert$ konvergiert. Damit entspricht für $ \vert z\vert<\vert b\vert$ die Laurent-Reihe der Taylor-Reihe


$\displaystyle f(z)$ $\displaystyle =\left(\frac{1}{c}-\frac{1}{b}\right) +\left(\frac{1}{c^2}-\frac{1}{b^2}\right)z +\left(\frac{1}{c^3}-\frac{1}{b^3}\right)z^2+\cdots\,.$    

(ii)
$ \left\vert b \right\vert <\left\vert z \right\vert< \left\vert c \right\vert$: Schreibt man

$\displaystyle f(z)$ $\displaystyle =\frac{1}{z}\frac{1}{1-b/z}+\frac{1}{c}\frac{1}{1-z/c}= \sum_{n=0}^\infty \frac{b^n}{z^{n+1}} +\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{c^{n+1}}\,,$    

so konvergiert die erste Reihe für $ \vert b\vert<\vert z\vert$ und die zweite für $ \vert z\vert<\vert c\vert$. Daraus erhält man für $ \vert b\vert<\vert z\vert<\vert c\vert$ für $ f$ die Laurent-Reihe


$\displaystyle f(z)$ $\displaystyle =\frac{1}{z}+\frac{b}{z^2}+\frac{b^2}{z^3}+\cdots +\frac{1}{c}+\frac{z}{c^2}+\frac{z^2}{c^3}+\cdots\,.$    

(iii)
$ \vert c\vert<\vert z\vert$: Analog ergibt sich schließlich

$\displaystyle f(z)$ $\displaystyle =\frac{1}{z}\frac{1}{1-b/z}-\frac{1}{z}\frac{1}{1-c/z} =\sum_{n=0}^\infty \frac{b^n}{z^{n+1}}- \sum_{n=0}^\infty \frac{c^n}{z^{n+1}}\,,$    

wobei die erste Reihe für $ \vert b\vert<\vert z\vert$ und die zweite für $ \vert c\vert<\vert z\vert$ konvergiert. Damit gilt für die Laurent-Reihe von $ f$ um $ a=0$ für $ \vert c\vert<\vert z\vert$


$\displaystyle f(z)$ $\displaystyle =\frac{b-c}{z^2}+\frac{b^2-c^2}{z^3}+\frac{b^3-c^3}{z^4}+\cdots\,.$    

[Verweise]
  automatisch erstellt am 21. 11. 2013