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Mathematik-Online-Lexikon:

Laurent-Entwicklung durch Differenzieren

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Mit Hilfe der Reihen

$\displaystyle \frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^\infty z^n $

für $ \vert z\vert<1$ bzw.

$\displaystyle \frac{1}{1-z} = -\frac{1}{z}\frac{1}{1-1/z}=-\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{z^{n+1}} $

für $ \vert z\vert>1$ erhält man durch Differenzieren die Laurent-Reihen

$\displaystyle \frac{1}{(1-z)^2}$ $\displaystyle = \sum_{n=1}^\infty nz^{n-1} = 1+2z+3z^2+\cdots$    

für $ \vert z\vert<1$ bzw.


$\displaystyle \frac{1}{(1-z)^2}$ $\displaystyle = \sum_{n=0}^\infty \frac{n+1}{z^{n+2}} = \frac{1}{z^2}+\frac{2}{z^3}+\frac{3}{z^4}+\cdots$    

für $ \vert z\vert>1$. Durch weiteres Differenzieren ergeben sich die Laurent-Reihen von

$\displaystyle \frac{1}{(1-z)^m} $

für beliebiges $ m\in\mathbb{N}$.
[Verweise]
  automatisch erstellt am 21. 11. 2013