Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]

Mathematik-Online-Lexikon:

Laurent-Entwicklung durch Differenzieren


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht

Mit Hilfe der Reihen

$\displaystyle \frac{1}{1-z} = \sum_{n=0}^\infty z^n
$

für $ \vert z\vert<1$ bzw.

$\displaystyle \frac{1}{1-z} = -\frac{1}{z}\frac{1}{1-1/z}=-\sum_{n=0}^\infty
\frac{1}{z^{n+1}}
$

für $ \vert z\vert>1$ erhält man durch Differenzieren die Laurent-Reihen

$\displaystyle \frac{1}{(1-z)^2}$ $\displaystyle = \sum_{n=1}^\infty nz^{n-1} = 1+2z+3z^2+\cdots$    

für $ \vert z\vert<1$ bzw.


$\displaystyle \frac{1}{(1-z)^2}$ $\displaystyle = \sum_{n=0}^\infty \frac{n+1}{z^{n+2}} = \frac{1}{z^2}+\frac{2}{z^3}+\frac{3}{z^4}+\cdots$    

für $ \vert z\vert>1$. Durch weiteres Differenzieren ergeben sich die Laurent-Reihen von

$\displaystyle \frac{1}{(1-z)^m}
$

für beliebiges $ m\in\mathbb{N}$.
[Verweise]

  automatisch erstellt am 21. 11. 2013