Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]

Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Möbius-Transformation


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht

Die Möbius-Transformation, die $ 1$ auf 0, 0 auf $ 1$ und $ \mathrm{i}$ auf $ \infty$ abbildet, erhält man über das Doppelverhältnis

$\displaystyle \frac{w-1}{w-\infty}\,:\,\frac{0-1}{0-\infty} =
\frac{z-0}{z-\mathrm{i}}\,:\,\frac{1-0}{1-\mathrm{i}}\,.
$

Dies entspricht

$\displaystyle (w-1)\,\underbrace{\frac{\infty}{w-\infty}}_{=\frac{\infty}{-\infty}=-1} =
\frac{z-0}{z-\mathrm{i}}\,(1-\mathrm{i})\,,
$

und damit ist

$\displaystyle w=1-\frac{(1-\mathrm{i})z}{z-\mathrm{i}}=\frac{\mathrm{i}z-\mathrm{i}}{z-\mathrm{i}}\,.
$

Eine andere Möglichkeit ist, die Punkte einzeln in die Funktionsgleichung einzusetzen und das entstehende unterbestimmte Gleichungssystem für $ a,b,c,d$ zu lösen:

\begin{displaymath}
\begin{array}{rcccccl}
f(1)&=&\displaystyle \frac{a+b}{c+d}&...
...{c\text{i}-a}
&=&\infty
&\Rightarrow &c=-\text{i}a
\end{array}\end{displaymath}

Mit $ a=\mathrm{i}$ ergibt sich die oben angegebene Form für $ f$.

siehe auch:


  automatisch erstellt am 15. 11. 2013