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Mathematik-Online-Lexikon:

Exponentialfunktion

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Das Kurvenintegral für die Funktion $ f(z)=e^z$ über den Weg $ C: z(t) = 1+t(1+\mathrm{i})\,,\,t\in[0,1]$, ist
$\displaystyle \int\limits_C e^zdz$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits_0^1 e^{1+t}(\cos t+\mathrm{i}\sin t)(1+\mathrm{i}) dt$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \int\limits_0^1 e^{1+t}(\cos t-\sin t)dt+\mathrm{i}\int\limits_0^1 e^{1+t}(\cos t+\sin t)dt$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left[e^{1+t}\cos t\right]_0^1 +\mathrm{i} \left[e^{1+t}\sin t \right]_0^1$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle e^2(\cos 1+\mathrm{i} \sin 1)-e^1(1+\mathrm{i}0)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{2+\mathrm{i}}-e\,.$  

Dies entspricht der Differenz der Werte der Stammfunktion $ F(z)=e^z$ von $ f$ an den beiden Enden des Weges.
[Verweise]
  automatisch erstellt am 21. 11. 2013