Mathematik-Online-Lexikon: Erstes Integral und Phasen-DGL

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	Erstes Integral und Phasen-DGL

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Übersicht

Sei

Gegeben sei das autonome System

$\begin{displaymath} \begin{array}{ccc} y_1'(t) & = & g_1(y_1,y_2) \\ y_2'(t) & = & g_2(y_1,y_2) \\ \end{array}\end{displaymath}$

Annahme sei umkehrbar. Die Umkehrung sei Dann gilt für nach Kettenregel und der Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion

$\displaystyle \frac{d}{dy_1} y_2 = \frac{d}{dt} y_2 \frac{d}{dy_1} t = \frac{y_2'(t)}{y_1'(t)} = \frac{g_2(y_1,y_2)}{g_1(y_1,y_2)} .$

Beachte, da umkehrbar ist, ist $g_1(y_1,y_2) = y_1'(t) \neq 0 .$

Die Differentialgleichung

$\displaystyle y_2' = \frac{g_2(y_1,y_2)}{g_1(y_1,y_2)} .$

nennt man die Phasen - DGL des autonomen Systems.

Läßt sich die Phasen - DGL durch Separation lösen, dann erhält man über

$\displaystyle g_1(y_2) \ dy_2 = g_2(y_1) \ dy_1$

durch Integration beider Seiten

$\displaystyle u(y_1,y_2) = \int g_1(y_2) \ dy_2 - \int g_2(y_1)\ dy_1 =$ const. $\displaystyle .$

Offensichtlich ist

ein erstes Integral des Ausgangssystems.

Zur Veranschaulichung solcher Systeme und der Phasen - DGL im $\mathbb{R}^2$ in gewohnter Weise schreibt man oft statt bzw. statt Konkret:

$\displaystyle \begin{array}{ccc} x'(t) & = & y \\ y'(t) & = & x \end{array}$

Dann ist $y' = \frac{x}{y}$ die zugehörige Phasen - DGL. Aus erhält man als erstes Integral.

Erste Integrale sollte man nicht mit den Lösungen des Systems verwechsln. Obiges System besitzt z.B. $x(t) = \cosh t$ und $y(t) = \sinh t$ als Lösungen .

Allgemein gilt: Ist eine - Funktion und ein erstes Integral, dann ist auch ein erstes Integral. Erste Integrale sind also in keinster Weise eindeutig.

(Aus: Vorlesungsskript HM3)

[Verweise]

automatisch erstellt am 25. 1. 2006