Mathematik-Online-Lexikon: Charakteristisches System

	[Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
	Mathematik-Online-Lexikon:
	Charakteristisches System

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Gegeben sei die PDG

$\displaystyle (x-y) u_x + (x+y) u_y + u_z = 0 .$

Das charakteristische System ist:

$\displaystyle \begin{array}{ccc} x'(t) & = & x(t) - y(t) \\ y'(t) & = & x(t) + y(t) \\ z'(t) & = & 1 \end{array}$

Als System der Phasen - DGL ergibt sich:

$\displaystyle \begin{array}{ccccc} x'(z) & = & \displaystyle \frac{dx}{dz} & =... ...(z) \\ y'(z) & = & \displaystyle \frac{dy}{dz} & = & x(z) + y(z) \end{array}$

Dies ist ein DGL - System mit konstanten Koeffizienten, welches sich auf mehrere Arten lösen läßt.

Eliminationsmethode:

$\displaystyle y'' = x' + y' = x - y + y' \longrightarrow x = y'' - y' + y .$

Andererseits ist

$\displaystyle x = y' - y .$

Hieraus ergibt sich die gewöhnliche DGL mit konstanten Koeffizienten

$\displaystyle y'' - 2y' + 2y = 0 ,$

deren allgemeine Lösung die Form

$\displaystyle y = e^z (c_1 \cos z + c_2 \sin z)$

besitzt. Aus folgt

$\displaystyle x = e^z (c_1 (-\sin z) + c_2 \cos z) .$

Löst man dies nach und auf, so folgt

$\displaystyle c_1 = e^{-z} ( y \cos z - x \sin z ) , \ c_2 = e^{-z} (y \sin z + x \cos z) \ .$

Somit sind

$\displaystyle u_1 = e^{-z} ( y \cos z - x \sin z ) , \ u_2 = e^{-z} (y \sin z + x \cos z) \ .$

erste Integrale des Phasen DGL - Systems und Lösungen der PDG.

(Aus: Vorlesungsskript HM3)

automatisch erstellt am 25. 1. 2006