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Mathematik-Online-Lexikon:

Reguläre Punkte der Legendre- und Bessel-Differentialgleichung

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Wie die folgenden Beispiele zeigen, ist der Typ der Punkte meist unmittelbar aus der Form der Koeffizienten ersichtlich.

(i)
Für die Legendre-Differentialgleichung

$\displaystyle (1-z^2)u''(z)-2zu'(z)+\alpha(\alpha+1)u(z)=0 $

ist

$\displaystyle (q/r)(z) = -\frac{2z}{1-z^2}\,, \quad (p/r)(z) = \frac{\alpha(\alpha+1)}{1-z^2}\,, $

d.h. die Differentialgleichung ist in allen Punkten außer $ z=\pm1$ regulär.

(ii)
Für die Bessel-Differentialgleichung

$\displaystyle z^2u''(z)+zu'(z)+(z^2-\alpha^2)u(z)=0 $

ist

$\displaystyle (q/r)(z) = \frac{1}{z}\,, \quad (p/r)(z) = \frac{z^2-\alpha^2}{z^2}\,, $

d.h. die Differentialgleichung ist in allen Punkten außer $ z=0$ regulär.

[Verweise]
  automatisch erstellt am 21. 11. 2013