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Mathematik-Online-Lexikon:

Beispiel: Umrechnung zwischen Ebenendarstellungen

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Eine Ebene E sei gegeben durch die Punkte

$\displaystyle P = (7,2,0),\quad Q = (1,-6,2),\quad R = (-1,-8,3) , $

d.h.

$\displaystyle E: \begin{bmatrix}\vec{x}-\begin{pmatrix}7\\ 2\\ 0\end{pmatrix},\... ...2\end{pmatrix},\vec{x}-\begin{pmatrix}-1\\ -8\\ 3\end{pmatrix}\end{bmatrix}=0. $

Zwei Richtungen, die die Ebene aufspannen, erhält man als Differenzen der Ortsvektoren $ \vec{p}$ , $ \vec{q}$ und $ \vec{r}$ :

$\displaystyle \vec{u}=\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}-6\\ -8\\ 2\end{pmatrix}, \quad \vec{v}=\overrightarrow{PR}=\begin{pmatrix}-8\\ -10\\ 3\end{pmatrix}. $

Damit ist eine Parameterdarstellung der Ebene

$\displaystyle E: \vec{x}=\begin{pmatrix}7\\ 2\\ 0\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}... ...pmatrix}+t\begin{pmatrix}-8\\ -10\\ 3\end{pmatrix}, \quad s,t \in \mathbb{R}_0 $

Ein Normalenvektor ist

$\displaystyle \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} = \begin{pmatrix}-24+20\\ -16+18\\ 60-64\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-4\\ 2\\ -4\end{pmatrix}$

Normierung ergibt

$\displaystyle \vec{n}^0 = \sigma\begin{pmatrix}-4\\ 2\\ -4\end{pmatrix}, \quad \sigma \in \{-1,1\} $

Für die Hesse-Normalform muss $ \sigma$ so gewählt werden, dass

$\displaystyle d = \sigma\, (7,\,2,\,0)\,\begin{pmatrix}-2/3\\ 1/3\\ -2/3\end{pmatrix}$

nicht negativ ist, also $ \sigma$ = -1. Damit erhält man

$\displaystyle E: \frac{2}{3}x_1 - \frac{1}{3}x_2 + \frac{2}{3}x_3 = 4 $

(Autoren: Höllig/Kreitz)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 28.  3. 2008