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Mathematik-Online-Lexikon:

Lösung der Legendre-Differentialgleichung durch Reihen-Entwicklung

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Für die Legendre-Differentialgleichung

$\displaystyle (1-z^2)u''(z)-2zu'(z)+\alpha(\alpha+1)u(z)=0 $

ergibt sich mit dem Ansatz

$\displaystyle u(z) =u_0+u_1z+\cdots $

für die Koeffizienten von $ z^n$

$\displaystyle (n+2)(n+1)u_{n+2}-n(n-1)u_n-2nu_n+\alpha(\alpha+1)u_n=0 $

bzw.

$\displaystyle u_{n+2}=\frac{n(n+1)-\alpha(\alpha+1)}{(n+1)(n+2)}u_n =-\frac{(\alpha-n)(\alpha+n+1)}{(n+1)(n+2)}u_n\,. $

Für die Anfangsbedingungen $ u(0)=1$ und $ u'(0)=0$ verschwinden alle ungeraden Koeffizienten, und man erhält

$\displaystyle u_0=1,\quad u_2=-\frac{\alpha(\alpha+1)}{1\cdot2},\quad u_4=\frac{\alpha(\alpha-2)(\alpha+1)(\alpha+3)}{1\cdot2\cdot3\cdot4} $

bzw. allgemein

$\displaystyle u_{2n}=(-1)^n \frac{\alpha\cdots(\alpha-2n+2)(\alpha+1)\cdots(\alpha+2n-1)}{(2n)!}\,. $

Falls $ \alpha\ge 0 $ und gerade ist, bzw. falls $ \alpha < 0$ und ungerade ist, ist die Lösung

$\displaystyle u(z)=\sum_{n=0}^\infty u_{2n}z^{2n} $

ein Polynom. Die ersten geraden sogenannten Legendre-Polynome sind

$\displaystyle \alpha=0\;($oder $\displaystyle \alpha=-1)$ $\displaystyle \rightarrow u(z)=1$    
$\displaystyle \alpha=2\;($oder $\displaystyle \alpha=-3)$ $\displaystyle \rightarrow u(z)=1-3z^2$    
$\displaystyle \alpha=4\;($oder $\displaystyle \alpha=-5)$ $\displaystyle \rightarrow u(z)=1-10z^2+\frac{35}{3}z^4\,.$    

Für die Anfangsbedingungen $ u(0)=0$ und $ u'(0)=1$ ergibt sich

$\displaystyle u_0=$ $\displaystyle \,u_2=\cdots=0,\quad u_1=1,\quad u_3=-\frac{(\alpha-1)(\alpha+2)}{2\cdot3},$    
$\displaystyle u_5=$ $\displaystyle \,\frac{(\alpha-1)(\alpha-3)(\alpha+2)(\alpha+4)}{2\cdot3\cdot4\cdot5}$    

bzw. allgemein

$\displaystyle u_{2n+1}=(-1)^n \frac{(\alpha-1)\cdots(\alpha-2n+1)(\alpha+2)\cdots(\alpha+2n)}{(2n+1)!}\,. $

Falls $ \alpha >0$ und ungerade ist, bzw. falls $ \alpha < 0$ und gerade ist, ist die Lösung

$\displaystyle u(z)=\sum_{n=0}^\infty u_{2n+1}z^{2n+1} $

ein Polynom. Die ersten ungeraden Legendre-Polynome sind

$\displaystyle \alpha=1\;($oder $\displaystyle \alpha=-2)$ $\displaystyle \rightarrow u(z)=z$    
$\displaystyle \alpha=3\;($oder $\displaystyle \alpha=-4)$ $\displaystyle \rightarrow u(z)=z-\frac{5}{3}z^3$    
$\displaystyle \alpha=5\;($oder $\displaystyle \alpha=-6)$ $\displaystyle \rightarrow u(z)=z-\frac{14}{3}z^3+\frac{21}{5}z^5\,.$    

[Verweise]
  automatisch erstellt am 21. 11. 2013