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Mathematik-Online-Lexikon:

Singularität der Euler-Differentialgleichung zweiter Ordnung

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Die Euler-Differentialgleichung

$\displaystyle z^2 u''(z) + q z u'(z) +p u(z)= 0 $

besitzt bei $ z=0$ einen regulären singulären Punkt und lässt sich durch den Ansatz

$\displaystyle u(z) = z^\lambda $

lösen. Man erhält nach Einsetzen in die Differentialgleichung die charakteristische Gleichung

$\displaystyle \lambda(\lambda-1) + q \lambda +p = \lambda^2 +(q-1) \lambda + p = 0 $

für den Exponenten $ \lambda$. Die folgenden Beispiele illustrieren drei qualitativ verschiedene Fälle:

(i)
verschiedene Exponenten $ \lambda_1 \neq \lambda_2$: Beispielsweise erhält man für $ q=0$ und $ p=-6$

$\displaystyle \lambda_1=-2$    und $\displaystyle \lambda_2=3 $

und damit die Lösung

$\displaystyle u(z)=c_1 \frac{1}{z^2}+c_2z^3\,. $

(ii)
ein Exponent $ \lambda_1 = \lambda_2$: Beispielsweise erhält man für $ q=-1$ und $ p=1$ den Exponenten $ \lambda =1$, d.h.

$\displaystyle u(z) = c z \,. $

Eine zweite Lösung kann durch Variation der Konstanten bestimmt werden. Aus

$\displaystyle z^2\left( c(z)z \right)''- z \left( c(z) z \right)' + c(z)z =0 $

folgt

$\displaystyle c'' z +2 c'-c'-\frac{1}{z}c+\frac{1}{z}c = 0 $

bzw. $ 0=c''z +c'=(c'z)' $ mit der Lösung

$\displaystyle c(z) = c_1 +c_2 \operatorname{Ln}z \quad \Longrightarrow \quad u(z) = \left( c_1 +c_2 \operatorname{Ln}z \right) z\,. $

(iii)
komplex konjugierte Exponenten: Beispielsweise erhält man für $ q=0$ und $ p=\frac{5}{4}$

$\displaystyle \lambda_{1,2}=\frac{1}{2}\pm\mathrm{i} $

mit der Lösung

$\displaystyle u(z)=c_1z^{1/2+\mathrm{i}}+c_2z^{1/2-\mathrm{i}}\,. $

Eine reelle Lösung für reelles $ z>0$ lässt sich mit Hilfe der Formel von Euler-Moivre konstruieren:

$\displaystyle z^{\pm \mathrm{i}} = e^{\pm \mathrm{i} \operatorname{Ln} z} = \co... ...orname{Ln} z \right) \pm \mathrm{i} \sin \left(\operatorname{Ln} z \right) \,. $

Mit $ c_1=c_2=\frac{1}{2}$ bzw.  $ c_1=-c_2=\frac{1}{2\mathrm{i}}$ erhält man die linear unabhängigen Lösungen

$\displaystyle \sqrt{z} \cos \left( \operatorname{Ln} z \right)$   und$\displaystyle \qquad\sqrt{z} \sin \left( \operatorname{Ln} z \right) \,. $

siehe auch:

  automatisch erstellt am 21. 11. 2013