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Mathematik-Online-Lexikon:

Fluss eines axialsymmetrischen Feldes durch eine Kugeloberfläche

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Die Projektion eines axialsymmetrischen Feldes

$\displaystyle \vec{F}(\varrho,z) = F_\varrho\vec{e}_\varrho+F_\varphi\vec{e}_\varphi+F_z\vec{e}_z $

auf die Einheitsnormale der Kugeloberfläche mit Radius $ a$,

$\displaystyle \vec{e}_r = \left(\begin{array}{c} \sin \vartheta \cos \varphi\\ \sin \vartheta \sin \varphi\\ \cos \vartheta \end{array}\right)\,, $

ergibt mit

$\displaystyle \vec{e}_\varrho \cdot \vec{e}_r = \sin \vartheta\,,\quad \vec{e}_\varphi \cdot \vec{e}_r = 0\,,\quad \vec{e}_z \cdot \vec{e}_r = \cos \vartheta $

die radiale Komponente $ F_r = F_\varrho\sin\vartheta + F_z\cos\vartheta$ und damit den Fluss

$\displaystyle \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^\pi \left(F_\varrho\sin\varthe... ...rrho\sin\vartheta + F_z \cos \vartheta \right) \sin \vartheta\, d\vartheta\,. $

Speziell gilt für $ F_\varrho = \varrho^{2s}\,,\,F_z=c$

$\displaystyle F_r = F_\varrho\sin\vartheta + F_z \cos \vartheta = a^{2s} \sin^{2s+1} \vartheta + c\cos \vartheta\,. $

Der zweite Summand verschwindet bei der Integration, so dass sich als Fluss insgesamt

$\displaystyle 2\pi a^2 \int\limits_0^\pi a^{2s} \sin^{2s+2} \vartheta\, d\varth... ..., \pi =2\pi^2 \left(\frac{a}{2}\right)^{2(s+1)} \frac{(2(s+1))!}{ ((s+1)!)^2} $

ergibt.
[Verweise]
  automatisch erstellt am 2. 10. 2013