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Mathematik-Online-Lexikon:

Integralsatz von Gauß bei einem radialen Feld

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Bei einem radialen Feld

$\displaystyle \vec{F} = r^s\vec{e}_r $

ist die Divergenz

$\displaystyle \operatorname{div} \vec{F} = \frac{1}{r^2}\partial_r(r^2r^s) = (s+2)r^{s-1}\,. $

Das Volumenintegral über eine Kugel $ V$ mit Radius $ a$ ist

$\displaystyle \iiint\limits_V \operatorname{div} \vec{F} = 4\pi \int\limits_0^a (s+2)r^{s+1}\,dr = 4\pi a^{s+2} \,,\quad (s>-2)\,, $

wobei das uneigentliche Integral für $ s>-2$ konvergiert.

Da das Vektorfeld senkrecht auf der Kugel steht, entspricht das Flussintegral dem Betrag des Feldes auf der Kugel, multipliziert mit dem Inhalt der Kugeloberfläche $ S$,

$\displaystyle \iint\limits_S \vec{F} \cdot d\vec{S} = \operatorname{area}(S)\,a^s = (4\pi a^2)a^s\,, $

in Übereinstimmung mit dem Integralsatz von Gauß.

siehe auch:

  automatisch erstellt am 2. 10. 2013