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Mathematik-Online-Lexikon:

Potential eines zweidimensionalen Feldes

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Für das Vektorfeld

$\displaystyle \vec{F} = \left(\begin{array}{c} 2x+\alpha x^2y\\ x^3+4y^3\end{array}\right)\,,\quad \alpha \in \mathbb{R}\,, $

ist

$\displaystyle \operatorname{rot} \vec{F} = 3x^2-\alpha x^2\,. $

Damit das Feld ein Potential besitzt, muss also $ \alpha =3$ gelten.

Aus

$\displaystyle \partial_x U = F_x = 2x +3x^2y $

folgt

$\displaystyle U=x^2+x^3y+C_1(y), $

und die zweite Bedingung $ \partial_y U = F_y$ liefert

$\displaystyle x^3+C_1'(y) = x^3+4y^3 \Rightarrow C_1(y)=y^4 + c\,. $

Damit ergibt sich insgesamt $ U=x^2+x^3y+y^4+c$ als Potentialfunktion für $ \vec{F}$ im Fall $ \alpha =3$.
[Verweise]
  automatisch erstellt am 9. 10. 2013