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Mathematik-Online-Lexikon:

Supremum und Infimum

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Bestimme Supremum und Infimum folgender Mengen. Besitzen sie ein Maximum bzw. ein Minimum?

(i)
$ \mbox{$M = \{ \frac{1}{1 + n^2} \; \vert\; n\in\mathbb{Z}\}$}$.
(ii)
$ \mbox{$M = \{ x\in\mathbb{R}\; \vert\; x^2 \leq 2\}$}$.
(iii)
$ \mbox{$M = \emptyset $}$.

Lösung.

(i)
Wegen
$ \mbox{$\displaystyle 0<\frac{1}{1+n^2}\leq 1 $}$
für alle $ \mbox{$n\in\mathbb{Z}$}$ ist $ \mbox{$0$}$ eine untere Schranke und $ \mbox{$1$}$ eine obere Schranke von $ \mbox{$M$}$. Da $ \mbox{$1=\frac{1}{1+0^2}$}$ in $ \mbox{$M$}$ liegt, ist $ \mbox{$1$}$ Supremum und Maximum von $ \mbox{$M$}$. Andererseits kann eine Zahl $ \mbox{$s>0$}$ nicht untere Schranke von $ \mbox{$M$}$ sein; denn sonst kann man eine Zahl $ \mbox{$n\in\mathbb{N}$}$ wählen mit $ \mbox{$n>\frac{1}{s}$}$ und erhält
$ \mbox{$\displaystyle \frac{1}{1+n^2}<\frac{1}{n}<s.$}$
Folglich ist $ \mbox{$0$}$ das Infimum von $ \mbox{$M$}$. Wegen $ \mbox{$0\notin M$}$ besitzt $ \mbox{$M$}$ kein Minimum.

(ii)
Wir geben eine Lösung, die zugleich eine Konstruktion von $ \mbox{$\sqrt{2}$}$ darstellt (wodurch die Lösung etwas aufwendiger wird). Es sei $ \mbox{$s:=\sup M$}$. Da $ \mbox{$2$}$ eine obere Schranke von $ \mbox{$M$}$ ist, gilt $ \mbox{$s\in\mathbb{R}$}$. Da $ \mbox{$1$}$ in $ \mbox{$M$}$ liegt, gilt $ \mbox{$s\geq 1$}$.

Wir behaupten, daß $ \mbox{$s^2 = 2$}$. Wäre nämlich $ \mbox{$s^2 < 2$}$, so setzen wir $ \mbox{$h := \frac{2 - s^2}{4s}$}$. Beachte $ \mbox{$0 < h \leq 2s$}$. Wir berechnen

$ \mbox{$\displaystyle (s+h)^2 \; =\; s^2 + h (2s + h) \; \leq \; s^2 + h\cdot 4s \; =\; 2\; . $}$
Damit ist $ \mbox{$s^2 < 2$}$ nicht möglich.

Wäre andererseits $ \mbox{$s^2 > 2$}$, so setzen wir $ \mbox{$h := \frac{s^2 - 2}{4s}>0$}$ und berechnen

$ \mbox{$\displaystyle (s-h)^2 \; =\; s^2 - h (2s - h) \; \geq \; s^2 - h\cdot 4s \; =\; 2\; . $}$
Damit ist $ \mbox{$s - h$}$ eine obere Schranke von $ \mbox{$M$}$, da $ \mbox{$x > s - h$}$ ( $ \mbox{$\geq 0$}$) impliziert, daß $ \mbox{$x^2 > (s - h)^2 \geq 2$}$, also $ \mbox{$x\notin M$}$. Damit ist $ \mbox{$s^2 > 2$}$ auch nicht möglich, und es muß $ \mbox{$s^2 = 2$}$ gelten.

Wir schreiben $ \mbox{$\sqrt{2} := s$}$ und merken an, daß aus $ \mbox{$s^2 = 2$}$ folgt, daß $ \mbox{$\max M = \sqrt{2}$}$ existiert.

Zum Beweis von $ \mbox{$\inf M = \min M = -\sqrt{2}$}$ merken wir an, daß $ \mbox{$t$}$ genau dann eine obere Schranke von $ \mbox{$M$}$ ist, wenn $ \mbox{$-t$}$ eine untere Schranke von $ \mbox{$M$}$ ist.

(iii)
Wir erhalten $ \mbox{$\sup\emptyset = -\infty$}$, da jedes Element von $ \mbox{$\hat {\mathbb{R}}$}$ eine obere Schranke darstellt. Genauso wird $ \mbox{$\inf\emptyset = +\infty$}$, da jedes Element von $ \mbox{$\hat {\mathbb{R}}$}$ eine untere Schranke darstellt.
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006