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Mathematik-Online-Lexikon:

Präzisierte Ungleichung von Bernoulli

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Sei $ \mbox{$n\in\mathbb{N}$}$. Zeige die präzisierte Ungleichung von Bernoulli: Für $ \mbox{$a\in\mathbb{R}$}$ mit $ \mbox{$a\geq -1$}$ gilt

$ \mbox{$\displaystyle (1+a)^n\geq 1 + na + (n-1) a^2\; . $}$

Lösung.

Beweis durch Induktion.

Induktionsanfang. Für $ \mbox{$n = 0$}$ gilt $ \mbox{$(1+a)^0 = 1 \geq 1 + 0a + (0-1)a^2$}$.

Induktionsschritt. Es wird

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} (1+a)^{n+1} & = & (1+a)(1+a)^n \\ &... ... + (n-1)a^2(1+a) \\ & \geq & 1 + (n+1)a + ((n+1)-1)a^2 \; .\\ \end{array}$}$
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006