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Mathematik-Online-Lexikon:

Abbildungen

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Seien $ \mbox{$X$}$ und $ \mbox{$Y$}$ Mengen, sei $ \mbox{$X\unitlength.1mm\begin{picture}(80,50) \put( 0, 0){$\longrightarrow $} \put( 10, 27){\makebox[6mm]{$\scriptstyle f$}} \end{picture} Y$}$ eine Abbildung.

(i)
Falls $ \mbox{$f$}$ injektiv ist, so ist $ \mbox{$f^{-1}(f(U)) = U$}$ für alle Teilmengen $ \mbox{$U\subseteq X$}$.
(ii)
Falls $ \mbox{$f$}$ surjektiv ist, so ist $ \mbox{$f(f^{-1}(V)) = V$}$ für alle Teilmengen $ \mbox{$V\subseteq Y$}$.
(iii)
Sei $ \mbox{$X = \{1,2\}$}$, sei $ \mbox{$Y = \{ a,b\}$}$. Gib eine Abbildung $ \mbox{$X\unitlength.1mm\begin{picture}(80,50) \put( 0, 0){$\longrightarrow $} \put( 10, 27){\makebox[6mm]{$\scriptstyle f$}} \end{picture} Y$}$ an, für die $ \mbox{$f^{-1}(f(\{1\})) \neq \{ 1\}$}$ und $ \mbox{$f(f^{-1}(\{a,b\})) \neq \{ a,b\}$}$.

Lösung.

(i)
Wir zeigen zunächst $ \mbox{$f^{-1}(f(U)) \supseteq U$}$. Sei $ \mbox{$x\in U$}$. Dann ist $ \mbox{$f(x)\in f(U)$}$, also $ \mbox{$x\in f^{-1}(f(U))$}$. (Hierfür war die Injektivität von $ \mbox{$f$}$ nicht erforderlich.)

Wir zeigen nun $ \mbox{$f^{-1}(f(U)) \subseteq U$}$. Sei $ \mbox{$x\in f^{-1}(f(U))$}$, d.h. $ \mbox{$f(x)\in f(U)$}$. Also gibt es ein $ \mbox{$u\in U$}$ mit $ \mbox{$f(x) = f(u)$}$. Nun ist aber $ \mbox{$f$}$ injektiv, und wir können $ \mbox{$x = u$}$ folgern. Insgesamt ist also $ \mbox{$x\in U$}$.

(ii)
Wir zeigen zunächst, daß $ \mbox{$f(f^{-1}(V)) \subseteq V$}$. Sei $ \mbox{$y\in f(f^{-1}(V))$}$, d.h. es gibt ein $ \mbox{$x\in f^{-1}(V)$}$ mit $ \mbox{$f(x) = y$}$. Es ist nun $ \mbox{$f(x)\in V$}$, und somit $ \mbox{$y\in V$}$. (Hierfür war die Surjektivität von $ \mbox{$f$}$ nicht erforderlich.)

Wir zeigen nun $ \mbox{$f(f^{-1}(V)) \supseteq V$}$. Sei $ \mbox{$v\in V$}$. Da $ \mbox{$f$}$ surjektiv ist, gibt es ein $ \mbox{$x\in X$}$ mit $ \mbox{$f(x) = v$}$. Insbesondere ist $ \mbox{$x\in f^{-1}(V)$}$, und somit $ \mbox{$v = f(x) \in f(f^{-1}(V))$}$.

(iii)
Sei $ \mbox{$f(1) := a$}$ und $ \mbox{$f(2) := a$}$, so daß $ \mbox{$f$}$ weder injektiv noch surjektiv ist.

Es ist $ \mbox{$f(\{ 1\}) = \{ a\}$}$, und $ \mbox{$f^{-1}(f(\{1\})) = f^{-1}(\{ a\}) = \{1,2\} \neq \{ 1\}$}$. Ferner ist $ \mbox{$f(f^{-1}(\{a,b\})) = f(\{1,2\}) = \{ a\}\neq \{a,b\}$}$.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006