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Mathematik-Online-Lexikon:

Monotoniekriterium

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Untersuche die Folge $ \mbox{$(\sum_{k = n+1}^{2n} k^{-1})_{n\geq 0}$}$ mittels Monotoniekriterium auf Konvergenz.

Die Ermittlung eines etwaigen Grenzwertes kann entfallen.

Lösung.

Wir behaupten, daß die Folge der $ \mbox{$a_n := \sum_{k = n+1}^{2n} k^{-1}$}$ monoton wachsend ist. In der Tat wird

$ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} a_{n+1} - a_n & = & \left(\sum_{k = n... ...\\ & = & ((2n+1)(2n+2))^{-1}\vspace*{2mm} \\ & > & 0\; . \\ \end{array}$}$
Wir behaupten, daß die Folge der $ \mbox{$a_n$}$ beschränkt ist. Es ist $ \mbox{$a_n\geq 0$}$ stets, und
$ \mbox{$\displaystyle a_n \;=\; \sum_{k = n+1}^{2n} k^{-1} \; \leq\; \sum_{k = n+1}^{2n} n^{-1} \;\leq\; 1. $}$

Der Grenzwert ist übrigens $ \mbox{$\log(2)$}$.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006