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Mathematik-Online-Lexikon:

Funktionalgleichung

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Zeige, daß $ \mbox{$\exp(-x) = \exp(x)^{-1}$}$ für $ \mbox{$x\in\mathbb{R}$}$.

Lösung.

Für $ \mbox{$x\in\mathbb{R}$}$ ist $ \mbox{$\exp(-x)\exp(x) = \lim_{n\to\infty} (1 - x/n)^n (1 + x/n)^n = \lim_{n\to\infty} (1 - x^2/n^2)^n$}$. Es wird mit Bernoulli für $ \mbox{$n > \vert x\vert$}$

$ \mbox{$\displaystyle 1\;\geq\; (1 - x^2/n^2)^n \;\geq\; 1 - x^2/n\; , $}$
und damit strebt mit dem Vergleichskriterium $ \mbox{$(1 - x^2/n^2)^n\to 1$}$ für $ \mbox{$n\to\infty$}$.

Wir schließen auf $ \mbox{$\exp(-x)\exp(x) = 1$}$, d.h. $ \mbox{$\exp(-x) = \exp(x)^{-1}$}$.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006