Mathematik-Online-Lexikon: Vergleich mit Polynomen

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	Vergleich mit Polynomen

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Für $\mbox{$m \geq 1$}$ und $\mbox{$x \geq 4m^2$}$ ist $\mbox{$e^x > x^m$}$ und $\mbox{$\log x < x/m$}$ zu zeigen.

Lösung.

Sei $\mbox{$m \geq 1$}$ und $\mbox{$x \geq 4m^2$}$ . Da $\mbox{$(1 + x/n)^n$}$ monoton wächst in $\mbox{$n$}$ , können wir abschätzen

$\mbox{$\displaystyle e^x \;\geq\; \left(1+\frac{x}{2m}\right)^{2m} \; \geq \; \left(1+\sqrt{x}\right)^{2m} \; > \; x^m\; , $}$

da $\mbox{$\frac{x}{2m} \geq \sqrt{x}$}$ , wie aus der Voraussetzung folgt.

Ferner folgt durch Anwenden des Logarithmus, daß $\mbox{$x > \log(x^m) = m\log x$}$ , also $\mbox{$\log x < x/m$}$ .

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

automatisch erstellt am 25. 1. 2006