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Mathematik-Online-Lexikon:

Vergleich mit Polynomen

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Für $ \mbox{$m \geq 1$}$ und $ \mbox{$x \geq 4m^2$}$ ist $ \mbox{$e^x > x^m$}$ und $ \mbox{$\log x < x/m$}$ zu zeigen.

Lösung.

Sei $ \mbox{$m \geq 1$}$ und $ \mbox{$x \geq 4m^2$}$. Da $ \mbox{$(1 + x/n)^n$}$ monoton wächst in $ \mbox{$n$}$, können wir abschätzen

$ \mbox{$\displaystyle e^x \;\geq\; \left(1+\frac{x}{2m}\right)^{2m} \; \geq \; \left(1+\sqrt{x}\right)^{2m} \; > \; x^m\; , $}$
da $ \mbox{$\frac{x}{2m} \geq \sqrt{x}$}$, wie aus der Voraussetzung folgt.

Ferner folgt durch Anwenden des Logarithmus, daß $ \mbox{$x > \log(x^m) = m\log x$}$, also $ \mbox{$\log x < x/m$}$.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 25.  1. 2006