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Mathematik-Online-Lexikon:

Eine Folgerung

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Folgere das Leibnizkriterium aus dem Dirichletkriterium.

Lösung.

Sei $ \mbox{$(b_k)_{k\geq k_0}$}$ eine monoton fallende Nullfolge mit Gliedern in $ \mbox{$\mathbb{R}_{\geq 0}$}$.

Sei $ \mbox{$(a_k)_k := ((-1)^k)_k$}$. Die Folge der Partialsummen $ \mbox{$(\sum_{k=k_0}^n (-1)^k)_n$}$ nimmt bei geradem Anfangsindex $ \mbox{$k_0$}$ nur die Werte $ \mbox{$1$}$ und $ \mbox{$0$}$ an, und bei ungeradem Anfangsindex $ \mbox{$k_0$}$ nur die Werte $ \mbox{$-1$}$ und $ \mbox{$0$}$. Sie ist folglich beschränkt.

Daher folgt aus dem Dirichletkriterium die Konvergenz der Reihe $ \mbox{$\sum_k (-1)^k b_k$}$.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006