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Mathematik-Online-Lexikon:

Geometrische Reihe

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Untersuche, für welche $ \mbox{$z\in\mathbb{C}$}$ die geometrische Reihe $ \mbox{$\sum_{k=0}^\infty z^k$}$ konvergiert, und berechne gegebenenfalls ihren Wert.

Lösung.

Nach der Formel für die geometrische Summe ist für $ \mbox{$z\ne 1$}$

$ \mbox{$\displaystyle \sum_{k=0}^n z^k\; = \; \frac{1-z^{n+1}}{1-z}\; , $}$
da
$ \mbox{$\displaystyle (1-z)\sum_{k=0}^n z^k\; =\; \sum_{k=0}^n (z^k-z^{k+1}) \;=\; 1-z^{n+1}\; . $}$

Im Falle $ \mbox{$\vert z\vert<1$}$ konvergiert $ \mbox{$z^{n+1}$}$ gegen $ \mbox{$0$}$ für $ \mbox{$n\to\infty$}$, und es folgt

$ \mbox{$\displaystyle \sum_{k=0}^\infty z^k\; = \; \frac{1}{1-z}\; . $}$

Im Falle $ \mbox{$\vert z\vert\geq 1$}$ ist auch $ \mbox{$\vert z^k\vert\geq 1$}$, d.h. $ \mbox{$(z^k)_k$}$ ist keine Nullfolge. Daher konvergiert die Reihe $ \mbox{$\sum_k z^k$}$ hier nicht.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006