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Mathematik-Online-Lexikon:

Fakultäten versus Potenzen

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Untersuche die Reihe $ \mbox{$\sum_{k=1}^\infty k!/k^k$}$ auf Konvergenz

  1. mit dem Quotientenkriterium,
  2. mit dem Wurzelkriterium.

Lösung.

Es sei $ \mbox{$a_k:=k!/k^k$}$.

  1. Es wird
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \left\vert\frac{a_{k+1}}{a_k}\right\v... ...&=& 1/\left(1+\frac{1}{k}\right)^k\vspace*{1mm}\\ &\to& 1/e\; . \end{array}$}$
    Also ist $ \mbox{$\overline {\lim}_{k\to\infty}\left\vert\frac{a_{k+1}}{a_k}\right\vert=\lim_{k\to\infty}\left\vert\frac{a_{k+1}}{a_k}\right\vert =1/e<1$}$, und die Reihe konvergiert absolut nach dem Quotientenkriterium.

  2. Es wird
    $ \mbox{$\displaystyle \sqrt[k]{\vert a_k\vert} \;=\; \frac{\sqrt[k]{k!}}{k} \;\to\; 1/e $}$
    nach der schwachen Form der Stirlingschen Formel. Also ist $ \mbox{$\overline {\lim}_{k\to\infty}\sqrt[k]{\vert a_k\vert}=1/e<1$}$, und die Reihe konvergiert absolut nach dem Wurzelkriterium.
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006