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Mathematik-Online-Lexikon:

Identitätssatz für Potenzreihen

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  1. Sei $ \mbox{$f(x):=\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n$}$ eine Potenzreihe mit $ \mbox{$a_n\in\mathbb{C}$}$, $ \mbox{$x_0\in\mathbb{R}$}$ und Konvergenzradius $ \mbox{$R>0$}$. Berechne $ \mbox{$f^{(k)}(x_0)$}$.

  2. Sei $ \mbox{$f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n (x-x_0)^n=\sum_{n=0}^\infty b_n (x-x_0)^n$}$ für $ \mbox{$x\in(x_0-r,x_0+r)$}$, wobei $ \mbox{$r>0$}$, $ \mbox{$a_n,b_n\in\mathbb{C}$}$ und $ \mbox{$x_0\in\mathbb{R}$}$. Zeige, daß $ \mbox{$a_n=b_n$}$ stets.

  3. Sei
    $ \mbox{$\displaystyle f(x) \;:=\; \left\{\begin{array}{ll} (\sin x)/x & {\mbox... ...thbb{R}\backslash \{0\} \\ 1 & {\mbox{f\uml ur}}\ x=0\end{array}\right.\; . $}$
    Berechne $ \mbox{$f^{(n)}(0)$}$.

Lösung.

  1. Wir erhalten
    $ \mbox{$\displaystyle f^{(k)}(x)\; =\; \sum_{n=k}^\infty a_n\cdot n\cdot (n-1) \cdots (n-k+1)\cdot (x-x_0)^{n-k} $}$
    und somit
    $ \mbox{$\displaystyle f^{(k)}(x_0)\; =\; \sum_{n=k}^\infty a_n\cdot n\cdot (n-... ..._0)^{n-k} \;= \; a_k\cdot k\cdot (k-1) \cdots (k-k+1) \; = \; k!\, a_k \; . $}$

  2. Die Konvergenzradien der beiden Potenzreihen sind $ \mbox{$\geq r > 0$}$. Somit dürfen wir in $ \mbox{$x_0$}$ $ \mbox{$k$}$-fach differenzieren und erhalten mit (1)
    $ \mbox{$\displaystyle a_k \; =\; f^{(k)}(x_0)/k! \; =\; b_k $}$
    für $ \mbox{$k\geq 0$}$.

  3. Die Quotientenregel anzuwenden, würde zu Schwierigkeiten führen.

    Die Potenzreihenentwicklung des Sinus in $ \mbox{$x_0 = 0$}$ liefert

    $ \mbox{$\displaystyle f(x)\; =\; \sum_{k = 0}^\infty (-1)^k x^{2k}/(2k+1)!\; , $}$
    was insbesondere an der gesondert definierten Stelle $ \mbox{$x_0 = 0$}$ richtig bleibt. Dies sichert wegen Konvergenzradius $ \mbox{$R = \infty$}$ die beliebige Differenzierbarkeit bei $ \mbox{$x_0 = 0$}$.

    Mit (1) erhalten wir

    $ \mbox{$\displaystyle f^{(n)}(0) \; =\; \left\{ \begin{array}{ll} (-1)^{n/2} ... ... \\ 0 & {\mbox{f\uml ur {$\mbox{$n$}$} ungerade.}} \\ \end{array}\right. $}$
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006