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Mathematik-Online-Lexikon:

Eine Anwendung von de l'Hospital

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Sei $ \mbox{$f:(a,b)\to\mathbb{R}$}$ differenzierbar, $ \mbox{$a,b\in\mathbb{R}$}$, $ \mbox{$a<b$}$. Sei $ \mbox{$f'$}$ nicht stetig in $ \mbox{$x_0\in(a,b)$}$.

Zeige, daß $ \mbox{$x_0$}$ keine hebbare Unstetigkeitsstelle von $ \mbox{$f'$}$ ist.

Hierbei heißt eine Unstetigkeitsstelle $ \mbox{$x_0$}$ einer Funktion $ \mbox{$g:D\to\mathbb{R}$}$ hebbar, falls ein $ \mbox{$y_0\in\mathbb{R}$}$ so existiert, daß die Funktion

$ \mbox{$\displaystyle \tilde{g}:D\to\mathbb{R},\hspace*{1cm} \tilde{g}(x):=\le... ...0\}$}$}}}\\ y_0 &{\mbox{f\uml ur {$\mbox{$x=x_0$}$}}} \end{array}\right. $}$
stetig in $ \mbox{$x_0$}$ ist. Mit anderen Worten, sie heißt hebbar, falls $ \mbox{$\lim_{x\to x_0,\; x\neq x_0} g(x) := \lim_{x\to x_0} g\vert _{D\backslash \{x_0\}}(x)=y_0$}$ existiert.

Lösung.

Beweis durch Widerspruch. Wir nehmen an, die Unstetigkeitsstelle $ \mbox{$x_0$}$ von $ \mbox{$f'$}$ sei hebbar vermittels des neuen Funktionswertes $ \mbox{$y_0$}$ von $ \mbox{$x_0$}$. Also bekommen wir mit de l'Hôpital

$ \mbox{$\displaystyle f'(x_0) \;=\; \lim_{x_\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} \;=\; \lim_{x\to x_0,\; x\neq x_0} \frac{f'(x)}{1} \;=\; y_0\;, $}$
da der Grenzwert auf der rechten Seite existiert. Das bedeutet aber, daß $ \mbox{$f'$}$ in $ \mbox{$x_0$}$ stetig ist, im Widerspruch zur Annahme.
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006