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Mathematik-Online-Lexikon:

Anwendungen des Satzes von Taylor

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Leite die folgenden Ungleichungen her für $ \mbox{$x,x_0\in\mathbb{R}$}$, $ \mbox{$x\neq x_0$}$.

  1. $ \mbox{$\vert\sin x -x \vert\leq \vert x\vert^3/6$}$.
  2. $ \mbox{$\vert\sin x - (x-x^3/6)\vert\leq \vert x\vert^5/120$}$.
  3. $ \mbox{$\vert\sin x-\sin x_0\vert\leq \vert x-x_0\vert$}$.
  4. $ \mbox{$\left\vert\frac{\sin x-\sin x_0}{x-x_0}-\cos x_0\right\vert \leq \vert x-x_0\vert/2$}$.

Lösung.

  1. Die Taylorentwicklung des Sinus um $ \mbox{$x_0=0$}$ mit $ \mbox{$n=2$}$ liefert ein $ \mbox{$\xi$}$ zwischen $ \mbox{$0$}$ und $ \mbox{$x$}$ so, daß
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \sin x &=& \sin 0 + (\cos 0)x + \frac... ...s\xi}{6}x^3\vspace*{1mm}\\ &=& x - \frac{\cos\xi}{6}x^3\; .\\ \end{array}$}$
    Daraus folgt
    $ \mbox{$\displaystyle \vert\sin x -x\vert \;\leq\; \left\vert\frac{\cos\xi}{6}x^3\right\vert \;\leq\; \vert x\vert^3/6 \; . $}$

  2. Die Taylorentwicklung des Sinus um $ \mbox{$x_0=0$}$ mit $ \mbox{$n=4$}$ liefert ein $ \mbox{$\xi$}$ zwischen $ \mbox{$0$}$ und $ \mbox{$x$}$ so, daß
    $ \mbox{$\displaystyle \begin{array}{rcl} \sin x &=& \sin 0 + (\cos 0)x + \frac... ...^5\vspace*{1mm}\\ &=& x - x^3/6 +\frac{\cos\xi}{120}x^5\; .\\ \end{array}$}$
    Daraus folgt
    $ \mbox{$\displaystyle \vert\sin x - (x-x^3/6)\vert \;\leq\; \left\vert\frac{\cos\xi}{120}x^5\right\vert \;\leq\; \vert x\vert^5/120 \; . $}$

  3. Der Mittelwertsatz liefert ein $ \mbox{$\xi$}$ zwischen $ \mbox{$x_0$}$ und $ \mbox{$x$}$ so, daß
    $ \mbox{$\displaystyle \sin x \;=\; \sin x_0 + (\cos\xi)(x-x_0) \;. $}$
    Daraus folgt
    $ \mbox{$\displaystyle \vert\sin x- \sin x_0\vert \;\leq\; \vert(\cos\xi)(x-x_0)\vert \;\leq\; \vert x-x_0\vert \;. $}$

  4. Die Taylorentwicklung des Sinus um $ \mbox{$x_0$}$ mit $ \mbox{$n=1$}$ liefert ein $ \mbox{$\xi$}$ zwischen $ \mbox{$x_0$}$ und $ \mbox{$x$}$ so, daß
    $ \mbox{$\displaystyle \sin x \;=\; \sin x_0 + (\cos x_0)(x-x_0) - \frac{\sin\xi}{2}(x-x_0)^2 \; . $}$
    Daraus folgt nach Division durch $ \mbox{$(x-x_0)$}$
    $ \mbox{$\displaystyle \left\vert\frac{\sin x-\sin x_0}{x-x_0}-\cos x_0\right\vert \leq \vert x-x_0\vert/2 \; . $}$
    Mit anderen Worten, die Sekantensteigung konvergiert gegen die Tangentensteigung bei $ \mbox{$x_0$}$ mindestens so schnell wie $ \mbox{$\vert x-x_0\vert/2\to 0$}$.

(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006