Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]

Mathematik-Online-Lexikon:

Grenzwert mittels Taylorentwicklung


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Übersicht

Bestimme mithilfe einer Taylorentwicklung

$ \mbox{$\displaystyle
\lim_{x\to 0} \left(\frac{1}{(\sin x)^2}-\frac{1}{x^2}\right) \; .
$}$

Lösung.

Wir wollen die Taylorentwicklung von $ \mbox{$(\sin x)^2$}$ um $ \mbox{$x_0=0$}$ bestimmen.

Dazu beachten wir $ \mbox{$(\sin x)^2=(1-\cos(2x))/2$}$ und die Taylorentwicklung des Cosinus. Es gibt ein $ \mbox{$\xi$}$ zwischen $ \mbox{$0$}$ und $ \mbox{$x$}$ so, daß

$ \mbox{$\displaystyle
\cos x \;=\; 1-\frac{1}{2}x^2+\frac{\cos\xi}{24}\,x^4 \;.
$}$
Also folgt
$ \mbox{$\displaystyle
(\sin x)^2 \;=\; x^2-\frac{\cos\xi}{3}\,x^4 \;
$}$
für ein $ \mbox{$\xi$}$ zwischen $ \mbox{$0$}$ und $ \mbox{$2x$}$. Damit erhalten wir
$ \mbox{$\displaystyle
\begin{array}{rcl}
\displaystyle\left(\frac{1}{(\sin x)^...
...\;=\; \frac{1}{3}\;\;\; {\mbox{f\uml ur {$\mbox{$x\to 0$}$}}} \;,
\end{array}$}$
denn wegen $ \mbox{$0\leq\vert\xi\vert\leq 2\vert x\vert$}$ geht $ \mbox{$\cos\xi$}$ gegen $ \mbox{$1$}$ für $ \mbox{$x\to 0$}$.

Alternativ liefert der Ansatz

$ \mbox{$\displaystyle
\sin x \;=\; x-\frac{\cos\xi}{6}\,x^3
$}$
für ein $ \mbox{$\xi$}$ zwischen $ \mbox{$0$}$ und $ \mbox{$x$}$, daß
$ \mbox{$\displaystyle
\left(\frac{1}{(\sin x)^2}-\frac{1}{x^2}\right)
\;=\; \...
...2}{1-\frac{\cos\xi}{3}\,x^2+\frac{(\cos\xi)^2}{36}\,x^4}
\;\to\; \frac{1}{3}
$}$
für $ \mbox{$x\to 0$}$.
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)

siehe auch:


  automatisch erstellt am 25.  1. 2006