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Mathematik-Online-Lexikon:

Ein Grenzwert mittels Zwischensummen

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Berechne

$ \mbox{$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k+n}\; $}$
mithilfe von Zwischensummen.

Lösung.

Es ist

$ \mbox{$\displaystyle \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k+n} \; =\; \sum_{k = 1}^n \left(1 + \frac{k}{n}\right)^{-1}\cdot\frac{1}{n} $}$
die Zwischensumme für das Tupel $ \mbox{$(1+\frac{1}{n},1+\frac{2}{n},\dots,1+\frac{n}{n})$}$ von Zwischenpunkten der Unterteilung
$ \mbox{$\displaystyle 1 \; =\; 1+\frac{0}{n} \; <\; 1+\frac{1}{n} \; <\; 1+\frac{2}{n} \; <\; \cdots \; <\; 1+\frac{n}{n} \; =\; 2 $}$
für die Funktion $ \mbox{$f(x) = x^{-1}$}$. Also wird in der Grenze
$ \mbox{$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k+n}\; =\; \int_1^2 x^{-1}\, {\mbox{d}}x \; =\; [\log x]_1^2 \; =\; \log 2\; . $}$
(Autoren: Künzer/Martin/Nebe)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006